アキレスと亀

ゼロと無限小

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作成日　2002/3/30

「亀がアキレスより先にＯ地点を出発したとする。アキレスが追ってＯ地点を出発するころ、
亀はすでに先のＡ地点にいる。そのＡ地点にアキレスが到着するまでに、亀はさらに少し先の
Ｂ地点に着いている。アキレスがそのＢ地点に着くころには、亀の方はすでにＣ地点にいる。
このようにアキレスは亀に追いつかない」

参考文献　「数学迷宮」　小島寛之著　　新評論

「アキレスと亀」のパラドックスについて、このようにいう人が多い。「そんなもの数学を使えば簡単に解ける。無限回の追いかけをすれば、有限の時間で追いつく。かかった時間は無限等比数列の和だ。」

しかし、彼らは明らかに間違っている。「アキレスと亀」を注意深く考えてみると、無限回の追いかけをしても、アキレスは亀には追いつけないことが解る。なぜなら、厳密にいうと、分子の項が無限小になってもゼロではないからだ。数学では、この場合、分子の項が無限小になるとゼロとして片付けてしまうが、ゼノンはそれに待ったをかけている。ゼロではなく、無限小になるのだ。私が思うに、数学ではこのパラドックスは解けないと思う。無限小を議論している時に、無限小をゼロに近似してしまうのだからどうかしている。このパラドックスを解くには、「位置としての点」そのものが、客観的実在ではなく、矛盾した「概念」であることに気付く必要がある。有なのに無。無なのに有。それが「点」の「概念」だ。その「位置としての点」が、主観的思考の世界においてアキレスを亀に追いつけなくさせる。それが主観外の世界でも、そうだと錯覚するとパラドックスになるのである。

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