１．基本的事実
２．ＰＣ空冷の簡易モデル
２．１ ＣＰＵコアからヒートシンク表面までの熱伝導の評価
２．２ ヒートシンク表面からケース外部までの対流による熱移送の評価
２．３ システム全体の評価と一応の結論
（雑考）
温度による空気密度の変化の影響
ヒートシンクからの熱放射の評価
ヒートシンク以外の部分からの熱伝導の寄与分の評価
ＰＣケース表面からの放熱
冷却ファンの風速と、空気境界層の厚さの見積もり
流れのパターン（層流、乱流）とレイノルズ数
平板並行流（層流）の境界層厚み
温度境界層とプラントル数
平板平行流伝熱における熱伝達率
ヌセルト数
ヒートシンクのフィン間における空気流パターンの仮説
板状フィンの温度分布パターンの考察
板状一次元フィンの理論解析
ヒートシンク素材の比熱の影響
ＣＰＵはシリコンベースの半導体であるから、その動作温度は通常常温の範囲であり、高クロック高発熱のものでも最大９５℃程度であるので、高クロックＣＰＵを搭載したパソコンでは、ＣＰＵの冷却の問題はきわめて重要になっている。
特に自作パソコンにより定格外の高クロック動作を行うマニア、いわゆるオーバークロッカーの間では、巨大ヒートシンク＋強力なファンによる強制空冷に始まって、水冷、ヒートパイプ、ペルチエ素子などの熱ポンプの利用、果ては、ドライアイスや液体窒素（！）を利用して瞬間的な高クロック動作を図るものまでも出現している。
一般の自作ユーザにとっても、高クロック高発熱ＣＰＵの冷却は重要な関心事項であるが、冷却の問題は一見直感的な理解が容易なようでありながら、複雑な要素を含んでおり、あやしげな冷却パーツの氾濫を招いているようにも思われる。
以下では、ヒートシンク＋ファンによる強制空冷のＰＣを対象に、簡単な冷却の理論モデルを構築し、ＰＣの自作の際の参考となるような考察をしてみたい。
なお、著者は自作１台目の初心者であり、熱理論の専門家でもないので、以下の議論は基本的には高校生レベルのもので、素人による推論の域を出るものではなく、誤りの可能性も大いにある上に、実験などによる裏付けのない全くの机上の空論であるので、誤りのでご指摘、実験結果の報告などいただければ幸いである。
高校物理レベルの話であるが、熱エネルギー移動のパターンは基本的に次の３種類に分けられる。
（１）熱伝導
直に接触する、あるいはひとつながりの物質の内部を熱エネルギーが、隣接分子、原子、電子間での振動の伝達により伝わるもの
（固体に限らないが、被加熱物質がその場を移動せずに、特定の温度分布を保つと仮定した場合の、熱エネルギー移動の寄与分）
（２）対流
熱せられた流体物質が、その周囲との温度差による浮力、あるいは外部からの強制的な流れにより、その場から移動することによって、熱エネルギーを運び去る形式の、熱エネルギー移動
（３）放射
物質表面からの電磁波（主に赤外線）の放射による、熱エネルギー移動
（周囲の環境からの放射の吸収分、あるいは自己の放射の照り返しも含めたエネルギー収支を考えないと正確な評価にはならないことに注意、魔法瓶のガラスの内側が銀メッキされているのはこれを防ぐ為）
なお、冷媒の蒸発、凝結による潜熱の発生を利用した冷凍システム（空調（クーラー）、冷蔵庫などが代表的、ヒートパイプとよばれる自然対流で駆動されるものもある）については、理論的に複雑な上、ＰＣの冷却システムとしては一般的ではないのでここでは扱わない。
通常のＰＣで現在ポピュラーな、ヒートシンク＋ファンによるＣＰＵの強制空冷による冷却システムの場合は、ごく単純化すれば以下の様な熱エネルギー移動経路パターンがあると推定される
（ａ）ＣＰＵコアからヒートシンク表面まで：ほぼ熱伝導のみ
（ｂ）ヒートシンク表面からケース外部まで：対流（ＣＰＵファンおよびケースファンによる強制対流）が主体か？
（ｃ）その他、例えばヒートシンク表面からの放射やマザーボード、ケースなどの経路による熱伝導など
なお、ヒートシンク表面からケース外部までの空気流の経路には、流れの駆動源としてＣＰＵファン、ケースファン、電源ファンがあるほか、流れに対する抵抗要素および熱の発生源として、ＣＰＵのほか各種拡張ボード、ＨＤＤ、ＣＤ−ＲＯＭなどの周辺機器など多数の要素が存在するが、ＣＰＵチップの温度のみに着目し、ケース内部から、等温熱浴としての外気までのトータルの熱移動、収支を問題にするのであれば上図のように単純化できる。
以下に各経路について大まかな評価を試みる
ヒートシンクなどの熱伝導による熱エネルギーの移動量は、素材の基本物性（熱伝導率、κ）と形状により定まる熱抵抗（の逆数、単位ワット／℃）と、発熱端、放熱端の温度差の積で決まる。
ヒートシンクの素材に用いられる物質の基本物性（熱伝導率）は以下の通り（出典：理科年表２０００年版）
物質 熱伝導率（単位：Ｗ／ｍ／℃、於いて０℃）
アルミニウム ２３６
銅 ４０３
銀 ４２８
鉄 ８３．５
（空気 ２．４１ｘ１０^-2）
長さの単位を実際のヒートシンクの大きさのオーダに近いｃｍにすれば、上記の値は１／１００となり、仮に１cmの立方体のヒートシンク（？）があるとして、ＣＰＵ側の１面（ＣＰＵチップのダイサイズは、ほぼ１ｃｍ^2）と対向面（放熱面）の間で１０℃の温度差を許容すれば（他の面からの熱の移動がないとして）、上記の値の１／１０が放熱可能なＣＰＵ電力値となる。
（例えば、アルミで２４Ｗ、銅で４０Ｗ、鉄では８Ｗ）
逆にＣＰＵの消費電力が（温度に無関係で）一定とすれば、ＣＰＵのダイ表面温度とヒートシンクの表面温度の差は、（同一形状のヒートシンクの場合）上記熱伝導率の逆数に比例することとなり、
例えば４０Ｗの時、銅で１０℃、アルミで１７℃、鉄では４８℃にもなる。
ヒートシンク表面（放熱面）の温度が、外気温に等しいと仮定すれば、同じ外気温の時ヒートシンクの素材によるこの差はそのまま、ＣＰＵチップの温度の違いになる。
定量化すれば、
ヒートシンクの放散電力Ｗhsは、定常状態では（他の部分からの熱移送を無視すれば）ＣＰＵ消費電力Ｗcpuに等しく、
ヒートシンク表面温度をＴhs、ＣＰＵコアの温度をＴcor、ヒートシンク素材の熱伝導率をｋhs、ヒートシンクの大きさ、形状で決まる係数をＣhs（単位ｍ）として、
Ｗhs ＝ Ｗcpu ＝ Ｃhs・ｋhs・（Ｔcor−Ｔhs） （１）
２．２ ヒートシンク表面からケース外部までの対流による熱移送の評価
モデルを単純化するため、ＰＣケース内での発熱はＣＰＵによるものが全てとし、かつこの熱はファンによる強制空冷で排出される空気により全て運び去られるものとする。
ファンによる強制対流でＰＣのケースから運び去られる熱量は、ケース流入空気量（＝排出空気量＝風量）とその流入−排出空気間の温度差の積で決まり、ＣＰＵを含めたケース内での全消費電力が一定値ならば、風量を増せば排出空気の温度は下がることとなる。
排出空気の温度は、ヒートシンク表面の空気通路を一種の理想的な熱交換機とみなせば、ヒートシンク表面温度にほぼ等しいと考えられるから、結局風量を増せばＣＰＵも冷えるという常識的な結論が支持される。
定量化すれば、
ケース排出熱量 Ｑcas（単位ワット）は、定常状態では（他の部分からの熱移送を無視すれば）これもＣＰＵ消費電力Ｗcpuに等しく、
空気の流量（風量）をＦ、流入空気温度をＴin、排出空気温度をＴout、空気の比熱をＢairとして、
Ｑcas ＝ Ｗcpu ＝ Ｂair・Ｆ・（Ｔout−Ｔin） （２）
具体的な数値を入れて検討してみる。
冷却ファンの風量は８cm角、１２Ｖ駆動（０．１〜０．２Ａ）のものであれば、０．６〜１．０ｍ^3／分程度の最大風量があるようである（山洋電気ホームページ参照）
典型的ＰＣタワーケースのサイズを、５０ｘ５０ｘ２０（ｃｍ）とすれば、容積は０．０５ｍ^3であり、空気抵抗などによる風量の損失を見込んで風量を０．３ｍ^3／分（＝５リットル／秒）としても、１分間に６回、１０秒に１回の割でＰＣケース内の空気は換気されることになる。
空気の平均分子量は２８．８、気体定数が２２．４リットル／モル（於いて０℃）であるので、空気の温度上昇による密度変化を無視すれば、
５リットル／秒 ＝ ５／２２．４ｘ２８．８ ＝ ６．４ｇ／秒
空気の比熱（定圧比熱）は、ほぼ１．０Ｊ／Ｋ・ｇ、なので、ケース排出空気の温度上昇（Ｔout−Ｔin）を１０℃とすれば、ヒートシンクが理想的な熱交換器として機能しているならば、５リットル／秒の換気で、ほぼ６４ワットの電力を放散できることになる。
先述のようにヒートシンク表面の空気通路を一種の理想的熱交換機とみなせば、排出空気の温度Ｔoutはヒートシンク表面温度Ｔhsにほぼ等しいから、
結局上記式（１）、式（２）より
Ｂair・Ｆ・（Ｔhs−Ｔin） ＝ Ｃhs・ｋhs・（Ｔcor−Ｔhs）
Ｂair・Ｆ （Ｔcor−Ｔhs）
−−−−− ＝ −−−−−−
Ｃhs・ｋhs （Ｔhs−Ｔin）
上式の左辺分母は、ヒートシンクの性能に対応し、左辺分子はファンの性能を表現するから、結局
ＣＰＵコアとヒートシンク表面間の温度差と、外気とヒートシンク表面間の温度差の比は、ヒートシンクの性能とファンの性能の比に反比例する（逆比）といえる。
また上記２式から、Ｔhsを消去すれば、
Ｗcpu Ｗcpu
−−−−− ＋ −−−−− ＝ Ｔcor − Ｔin
Ｃhs・ｋhs Ｂair・Ｆ
結局、Ｔcorを下げるには、ヒートシンクの性能とファンの性能をバランスよく上げるのが効率がよいという結論になる。
また、（このような面倒くさい議論をするまでもなく直感的に明かなことであるが）、ヒートシンク＋ファンによる強制空冷のシステムでは、制御可能なのは外気温ＴoutとＣＰＵコアの温度Ｔcorの差であって、温度検出によるファンの回転数制御などをしない限り、外気温が上がればその分だけＣＰＵコアの温度も上昇することになる。（温度による空気密度の変化による影響は除く）
例えば、外気温０℃の真冬にコア温度が３０℃だったとすれば、外気温３０℃の真夏にはコア温度は６０℃に達する。
（雑考）
ファンの風量（１秒間に送られる空気の体積）が、空気の温度によらず一定と仮定すれば、ファンの送る空気の質量は温度と共に低減するので、温度（絶対温度Ｋ）が上昇するのに反比例して空冷の効率（同一風量、同一温度上昇で放散可能な電力）は低下することになる。
上記の例に寄れば、０℃において、５リットル／秒の風量は、６．４ｇ／秒の空気質量になるが、
例えば３０℃になると、
６．４／｛２７３ｘ（２７３＋３０）｝ ＝ ５．７６ｇ／秒
となり、５リットル／秒の風量とケース排出空気の温度上昇（Ｔout−Ｔin＝１０℃）が不変ならば、冷却効率は５７．６ワットに落ちる。
実際にはＣＰＵの電力消費が温度に寄らずほぼ一定と考えられるので、気温の上昇による実効風量の減少は排出空気の温度上昇の増大で補われ、
この例では、
１０ｘ６．４／５．７６ ＝ １１．１℃
即ち、外気温０℃のとき、排気温度１０℃で放散されていた６４ワットの電力が、
外気温３０℃になると、排気温度４１．１℃で放出されることになる。
（理想熱交換機の仮定が成立するならば、この外気温３０℃における排気温度４１．１℃は、そのままその時のヒートシンクの表面温度であり、４１．１−１０＝３１．１℃の温度上昇は、そのまま（外気温０℃の時に対する）ＣＰＵコアの温度上昇分になる。
なお、厳密には空気密度が変化すれば、ファンの羽根がうける空気抵抗も変化するので、（積極的な回転数制御がなされていないとすれば）一定のパワーで駆動されるファンの回転数が変化し風量も変化する可能性があり、これは冷却効率の低下を補う方向に働く。
熱放射は、シュテファン・ボルツマンの法則で評価され、理想的な黒体の熱放射（黒体放射）はその面積と表面温度Ｔ（ケルビン）の４乗に比例し、
比例定数（シュテファン・ボルツマン定数）は、5.67x10^-12 Ｗ・ｃｍ^-2・deg^-4
例えば
Ｔ＝３１０Ｋ（３７℃） として、０．０５２Ｗ／ｃｍ^2
ヒートシンクの実効的な全表面積を仮に１００ｃｍ^2（並行平板フィンの対向面は外部への熱放射には寄与しない）としても５Ｗほどで、
ケース内の他の部分からの照り返しによる放射収支を考えれば、支配的な要因ではないと推論される
ヒートシンク以外の部分からの熱伝導経路は、ソケット型ＣＰＵの場合、ＣＰＵパッケージ（プラスチックないしセラミック）、ＣＰＵソケット（プラスチック）を経てマザーボードへと熱伝導する経路が想定される。
プラスチックないしセラミックともヒートシンクの素材（銅またはアルミ）に比べて１／１０〜１／１００の熱伝導率であり、ピン、配線パターンなどの金属部による熱伝導を考慮したとしても、あまり大きな影響はなさそうである
ＰＣケースの素材が鉄であれ、アルミであれ、その表面積の大きさと薄さからして、ケース自身の熱抵抗は小さいものと考えられるが、ＰＣケースに熱を伝える空気が非常に熱抵抗が大きいため、ＰＣケース素材の違いによる熱伝導の変化はあまり大きなものではない。
例えば、５０ｘ５０ｘ２０（ｃｍ）、厚さ１ｍｍのアルミケースの場合、その熱伝導率は
ケースの表面積＝５０ｘ５０ｘ２（左右側板）＋５０ｘ２０ｘ４（上下前後） ＝ ９０００ｃｍ^2 ＝ ０．９ｍ^2
ケースの熱伝導率 ＝ ２３６ｘ０．９÷０．００１ ＝ ２１２．４ｘ１０００ ＝ ２１２．４ ＫＷ／℃
これに接する空気層は、ファンによる流れがあるとしても、ケース内面のアルミ板近傍においては、空気の粘性による境界層（流れが固体表面に於いて自身の粘性により澱むことにより、流速が実質的に０となる層）が存在し、仮にその厚さを１ｃｍと仮定すれば、形状ファクタはケースの熱伝導率の計算の１０倍で、それに加え空気自身の熱伝導率の分だけ異なることになり、
ケース内面に接する空気層の熱伝導率 ＝ ２．４１ｘ１０^-2ｘ０．９÷０．０１ ＝ ２．１７Ｗ／℃
結局、ケース内空気（境界層）−＞ケース板−＞外気の経路の熱抵抗は、上記２数値の逆数の和となり、実質的に空気境界層の熱抵抗に等しい。
（つまり、ケースの熱抵抗はもともと小さなものであるが、ケース内空気境界層の熱抵抗が大きいため支配的な要因ではなく、ましてケースの素材の変更は、熱抵抗に関してはほとんど影響がない。）
ケース内の空気全体が排出空気と同じ温度であるとするのは、かなり過大な見積もりであろうが、仮にそれを仮定し、ケース内空気温度を外気温＋１０℃としてもＰＣケース自身を通じた熱移送量は、２０Ｗ程度となる。
上記のように種々の仮定をおいているため、この２０Ｗという見積もりの大きさの信頼性は高くないが、結論としてケース自身の素材の影響はほとんどないものの、ケース自体からの熱伝導による放熱はＰＣ全体の放熱に於いてある程度の意味を持つ大きさであると言えるのかもしれない。
（少なくともケースファンを持たないシステムでは、かなりの寄与が予想される）
冷却ファンの風量を５リットル／秒、有効開口面積を８センチファンで、（４^2−２^2）・３．１４＝３７．７ｃｍ^2とすれば、冷却ファンの風速は、
（５・１０^-3）／（３７．７・１０^-4）＝１．３３ｍ／秒
の程度となる。
ヒートシンクの冷却フィン表面やケース内面に生じる空気境界層の厚さは、対流による伝熱の効率を支配する要素であり、正確にはナビエ・ストークス方程式の特殊型である境界層方程式と呼ばれるものを解く必要があるが、そのためには空気などの流体の粘性の定義を明確にする必要がある。
即ち、空気等の流体のの粘性μとは、流れを駆動する力（単位面積あたりの力なので圧力の次元をもつ）、駆動圧をＰとしたときに、流れの中に速度勾配∂Ｖ／∂ｚを生じる原因となるものであって、
∂Ｖ
Ｐ ＝ μ−−
∂ｚ
と定義される。
例えば空気の粘性は、 μ＝１．８３ｘ１０^-5 Pascal・秒（於気温：25℃）である。
駆動圧 Ｐ＝１ｍｍＡｑ＝０．１ｇ／ｃｍ^2＝９．８Ｎ／ｍ^2（Pascal）
とすれば、境界面の速度勾配 ∂Ｖ／∂ｚ＝Ｐ／μ＝５．３５ｘ１０^5 ｍ／秒／ｍ
風速を上記１．３３ｍ／秒として、境界層のおおよその厚さ∂ｚ＝１．３３÷（５．３５ｘ１０^5）＝２．４８ｘ１０^-6 ｍ ＝ ２．５μ
これは、ＣＰＵ冷却ファン直下のヒートシンク表面の空気境界層の厚さの見積もりの一例となろう。
現実には、境界層の厚さは流れの下流に向かって増大し、下流では乱流に遷移するので、上記の数値はヒートシンク表面の平滑度に応じて異なるものの、境界層の厚さの下限を与えるものと予想される。
空気や水のような粘性のある流体の流れのパターンは、レイノルズ数と呼ばれる無次元数によって、類別される。
レイノルズ数Ｒｅは、流体の密度をρ、流速をＶ、考慮する長さの単位をＬ、流体の粘性をμとしたとき、
Ｒｅ＝ρＶＬ／μ
あるいは、動粘性係数ν＝μ／ρを用いれば、 Ｒｅ＝ＶＬ／ν と定義される。
例えば、円柱周りの二次元流れのパターンは、Ｒｅ＝０．１の近傍までは、乱れのない層流であるが、Ｒｅが５を越えるあたりから、定常的な渦が２つ円柱後方に発生し始め、Ｒｅが４０の程度になるとこの渦が交互に周期的に流れ去る、いわゆるカルマン渦となり、Ｒｅが１０００を越えるあたりからは、不規則に激しく変動して定常的、規則的な流れの構造が見られない乱流の状態となる。
ピン型のフィンを持つＰＣのＣＰＵヒートシンクにおける空気流のレイノルズ数を見積もってみると、
空気密度ρ＝１．２８ｋｇ／ｍ^3、ファンの排出空気流速Ｖ＝１．３３ｍ／秒、ヒートシンクのピン型フィンの直径をＬ＝２ｍｍ、
空気の粘性 μ＝１．８３ｘ１０^-5 Pascal・秒 として、
Ｒｅ＝１．２８ｘ１．３３ｘ０．００２／１．８３ｘ１０^-5 ＝ １．８６ｘ１０^2
およそ２００の程度のレイノルズ数であり、層流と乱流の中間的な領域の流れであり、ｍｍオーダの微細なカルマン渦の様な流れが発生していることが予想される。
平板フィンを有するヒートシンクのフィン上の気流を平板並行流として考えると、平板上流先端から流れの下流方向に次第に厚みを増す層流境界層が発達し、
局所レイノルズ数 Ｒｅx＝ρＶＬ／μ （Ｌは平板上流端から流れの方向に図った距離）
が臨界レイノルズ数Ｒｅx,cr（３ｘ１０^5程度）を越えるあたりからは、乱流に遷移する。
上記と同じ数値を使用すれば、局所レイノルズ数は、
ヒートシンク先端から１ｍｍの点で、９３、１ｃｍの点で９３０、１０ｃｍで９３００であり、いずれも層流の範囲であることが判る。
・平板平行流（層流）の境界層厚み
平らな板（半無限平面）に並行な流れが生じる層流境界層内での流速は、平板に垂直方向に測った距離に応じて、０から入射流速まで連続的に変化するが、一般的に入射流速の９９％となる距離として境界層の厚みは定義される。
前述の境界層方程式を解くと、平板先端から流れ方向に距離ｘの点における境界層の厚みδは、並行流の平板先端における入射流速をＶとして、およそ
δ＝5.0sqrt（νｘ／Ｖ） （ν：動粘性係数＝μ／ρ、単位はｍ^2／秒）
のオーダで表されることが判る。
つまり、層流境界層の厚みは、境界層先端から測った流れ方向の距離ｘの平方根に比例して厚くなり、入射流速Ｖの平方根に反比例する。
例えば、空気密度ρ＝１．２８ｋｇ／ｍ^3、空気の粘性 μ＝１．８３ｘ１０^-5 Pascal・秒 から 動粘性係数ν＝１．４３ｘ１０^-5として、
Ｖ＝１．３３ｍ／秒の並行流に於いて、
ｘ＝１ｍｍの点における境界層の厚みは、5.0xsqrt(１．４３ｘ１０^-5ｘ０．００１／１．３３)＝５ｘ１．０３ｘ１０^-4（ｍ）＝０．５ｍｍ
ｘ＝１ｃｍでは約３倍の１．５ｍｍ
ｘ＝１０ｃｍでは、５ｍｍ
の程度となる。
従って、フィン間隔が数ｍｍの並行板状フィンを有するヒートシンクの基部あたりでは、両側のフィンの境界層が干渉することが予想され、空気流の流速は幾分低下していることが想像される。
なお、一般に冷却の為には層流的な流れよりも、被加熱流体を効率よく混合し熱を拡散する乱流的な流れのほうが好ましいとされる。
従って、ピン型フィンでも、平板フィンでもその表面に微細な凹凸を設ければ、乱流型の境界層の生成を促すことが出来て、熱伝達率を上げられるのではないかと予想される。
強制空冷のような流れが外力で駆動されるシステムにおいては、温度変化による流体の物性値（粘性係数など）の変化があまり大きくない限り、
流体の流れの場が先に決まり、これに応じて温度分布が定まる。
板状フィンにおいては、上記のような速度境界層を有する平板並行流が存在するが、フィンの温度を場所によらず一定値とした場合、
流体内の温度分布も速度境界層に似た構造の、温度境界層を構成している。
そして、温度境界層と速度境界層の厚みの比は、動粘性係数νと温度伝導率（α＝κ／ρｃ）の比で定義される、プラントル数(Prandtl
Number)
Ｐｒ＝ν／α
に応じて定まる。
空気などの気体では、プラントル数Ｐr≒１（３００Ｋの空気で０．７）であり、温度境界層と速度境界層の厚みはほぼ等しい。
これに対し、油、グリセリンなどは粘性係数が大きく、温度伝導率が小さいため、Ｐr＞＞１（高プラントル数）であり、速度境界層よりも温度境界層の厚みが薄くなる。
（速度境界層の底の部分だけが熱くなってる感じ）
逆に、液体金属などにおいては、相対的に粘性係数が小さく、温度伝導率が大きいため、Ｐr＜＜１（低プラントル数）であり、温度境界層の厚みが速度境界層よりも厚くなる。
（温度境界層が、速度境界層を越えて発達し、定常流れ部分まで熱が及んでいる感じ）
ちなみに、水のプラントル数は常温（２０℃）で約７であり、空気のほぼ１０倍となる。
熱伝達率（heat tranfer coefficient、通常αと標記）とは、流体と固体の間における熱伝達に関して定められる係数であって、
固体表面の温度をＴw、流体の固体表面から充分離れた点における温度をＴ∞としたときに、固体表面から放散される熱流速密度（面密度）をｑとして、
ｑ＝α（Ｔw−Ｔ∞） （単位：ワット／ｍ^2／℃）
と定義される。
固体の熱伝導率（κ、単位Ｗ／ｍ／℃）が、体積要素に関して定義されるのに対して、面密度で定義されるため、長さの次元が異なることに注意する
表面が一定温度に保たれた平板の、先端から流れの方向に測った距離ｘの点における局所熱伝達率αｘは、温度分布から定まる伝熱面境界における温度勾配を基に決めることができ、
Ｐr＞０．６の範囲では、
αx ＝ ０．３３２Ｐr＾(1/3)κsqrt(Ｖ／νｘ）
長さｌの平板の平均熱伝達率αmは、上記局所熱伝達率αｘをｘ＝０〜ｌの範囲で積分して、
αm ＝ ２αx=l ＝ ０．６６４Ｐr＾(1/3)κsqrt(Ｖ／νｌ） （Ｗ／ｍ^2／℃）
つまり、温度一定の板状フィンを平行に流れる流体で冷却する場合の平均熱伝達率は、主に
流体の熱伝導率κに比例し、入射流速Ｖの平方根に比例し、フィンの長さｌの平方根に反比例する、と言える。
例えば、空気の動粘性係数ν＝１．４３ｘ１０^-5（ｍ^2／秒）、熱伝導度κ＝０．０２４１（Ｗ／ｍ／℃）、プラントル数Ｐr＝０．７、入射流速ｕ＝１．３３ｍ／秒として、
フィン長１０ｃｍのヒートシンク（等温）を想定すると
αm ＝ ０．６６４ｘ（０．７）＾(1/3)ｘ０．０２４１ｘsqrt(１．３３／（１．４３ｘ１０^-5）／０．１）
＝ ０．６６４ｘ０．８８８ｘ０．０２４１ｘ０．９６４４ｘ１０００＝１３．７ （Ｗ／ｍ^2／℃）
フィン長を５ｃｍとすれば、上記の√２倍となり、１９．４（Ｗ／ｍ^2／℃）
フィン長を３．５ｃｍとすれば、上記の７割り増しとなり、２３．１５（Ｗ／ｍ^2／℃）
現実には、フィンの素材は有限の熱伝導率であるため、温度勾配が存在し基部から先端に向かい温度低下があるので、冷媒の流れ方向とも関係するが、
局所熱伝達率、平均熱伝達率とも、上記の見積とは違いがあると考えられる。
試しに逆に、排出空気温度をフィンの表面温度と等しいと仮定し、ＣＰＵの発生電力、流入−排出空気の温度差と、ヒートシンクのフィン有効面積から熱伝達率αを見積もれば、
ＣＰＵ発熱を５０Ｗ、
フィン有効面積をほぼ、０．１ｍ^2（フィンの大きさを０．０７ｘ０．０３５（ｍ）、フィンの枚数２０（有効面数はｘ２）を仮定）、
空気の温度上昇を２０℃として、
α＝５０／０．１ｘ（１／２０）＝２５（Ｗ／ｍ^2／℃）
結果的に、割と良い見積りとなっているようである。
固体と流体の境界面における熱伝達率（heat tranfer coefficient、α）を、流体の熱伝導度（κ）と伝熱境界の特徴的サイズ（例えばフィンの長さＬ）で無次元化したものを、
ヌセルト数（Nusselt Number、Ｎｕ）とよび、この定義から
Ｎｕ＝αＬ／κ
レイノルズ数と同様に、伝熱面の流れに沿った点（伝熱面先端からの距離ｘ）における、局所ヌセルト数も定義され、
Ｎｕx＝αｘ／κ
このヌセルト数を用いると、熱伝達率と、プラントル数、レイノルズ数の間には単純な関係式が成り立ち、
例えば、流れ方向の長さＬの等温平板（層流）全体における平均ヌセルト数Ｎｕmは
Ｎｕm＝０．６６４Ｐr＾(1/3)Ｒｅ^(1/2)
と表される。
上記の形式の関係式は、種々の熱伝達条件においても、その係数、プラントル数、レイノルズ数のべき指数を変えて成立し、
例えば、等温平板平行流（乱流）の場合は、局所ヌセルト数に関して、
Ｎｕx＝０．０２９６Ｐr＾(2/3)Ｒｅx^(4/5)
平行板状のフィンを有するヒートシンクの上部（フィン末端側）に、回転型ファンを軸流の吹きつけ方向（上から下）に取り付けた場合の、平行板状フィンの間における空気流のパターンを想像してみる。
平行板状フィンの間隔（厚み）方向の流れは無視できるとして、流れはいわゆる２次元流となる。
また、回転型ファンの軸対称性からファンの軸に対応する板状フィンの右半面と左半面の流れのパターンは対称となると予想される。
（ファンの回転による流れの捻れによる影響は無視できると仮定）
これらの仮定から想像される最も単純な流れのパターンは、ファンから吹き出して上から降下してきた空気流が、並行板状フィンの間を通り抜けて、フィンの基部で左右に分かれて吹き抜けるパターン（板状フィンの右半面で、Ｌ字型となるもの、下図（１））であろう。
回転型ファンの軸に近い部分の風速は、周辺部のファン直下の部分の風速よりも小さいと推定されるので、周辺部のファン直下の空気流の動圧が、軸部のそれにうち勝てば、上記Ｌ字パターンに加えて、軸部直下に（右半面で）時計回り方向の反流を伴うパターンも予想され、この場合は軸上に上昇流が発生することになる。（下図（２））
なお、実際のヒートシンクでは、並行板状だけでなく、棒状、トルネード状など種々の形のフィンを持ったヒートシンクがあり、また並行板状のものであってもヒートシンク取り付け金具などの関係から、板状フィンの中央部は切り込みがあるものもり、気流のパターンはもっと複雑になるものと予想される。
フィンの素材の熱伝導率が無限大でない限り、板状フィンの面上には温度分布が存在し、その温度分布のパターン（等温線の形状）は、無風時のパターンを基準にして、空気流のパターンに応じて、その上流部分では冷たい気流により冷却され、フィンの表面温度は低下し、下流部分では上流部で熱せられた気流が通過することにより、フィン表面温度が（無風時に比べ）やや上昇することから、温度分布パターンは下流方向に変形され吹き流された形状となるものと推定される。
例えば正方形のフィンにおいて、下方から加熱され、左右と上面で冷却される時、無風状態では上に凸の放物線状の等温度線パターンとなるが、単純なＬ字型の空気流パターンで冷却されるときは、凸の放物線形状がつぶれ、風速が大きくなれば左右にはみ出た形状となるものと考えられる。
また、仮にＬ字型＋上昇反流の流れパターンの場合に、上昇反流が強ければ、等温度パターンは全体としてはつぶれるものの、中心軸部においては部分的に上方に飛び出るパターンとなることもあるものと予想される。（一種の熱溜まり？）
ヒートシンクの様に、熱伝導と熱対流が関係する場合の温度分布を評価するのに、ビオー数と呼ばれる無次元パラメータが用いられる。
熱伝導体の熱伝導率をｋ（Ｗ／ｍＫ），熱伝導体のサイズをｌ（ｍ）、対流による熱伝達効率をα（Ｗ／ｍ^2Ｋ）とすれば、ビオー数Ｂiは、
Ｂi＝αｌ／ｋ
対流による熱伝達率αを見積もれば、５０ＷのＣＰＵ発熱が、０．１ｍ^2（フィンの大きさを０．０７ｘ０．０３５（ｍ）、フィンの枚数２０（有効面数はｘ２）を仮定）の有効表面積を持つヒートシンクによって、２０℃の空気の温度上昇に伝達されているとして、
α＝５０／０．１ｘ（１／２０）＝２５（Ｗ／ｍ^2Ｋ）
熱伝導体の熱伝導率ｋは、アルミヒートシンクとして、ｋ＝２３６
問題とするサイズはフィンの大きさにとれば、０．０３５ｍ
ビオー数Ｂi＝２５ｘ０．０３５／２３６＝０．００３７
一般にビオー数Ｂiが１より小さければ、熱伝導より熱対流の方が支配的であり、Ｂiが１より充分小さければ熱伝導体内部の温度分布はほとんど一様と見なせる。
（但し、この計算ではフィンの先端のみから放熱し、側面は断熱された様な状態を想定することになり、通常の使用状態とは異なるので、あまり意味はない計算と考えられる。
板状フィンの側面から一定の熱伝達率で放熱する場合のフィンの温度分布については、下記の板状一次元フィンの理論解析を参照）
フィン素材が均質（熱伝導率ｋ＝一定）、フィンの断面形状も一定で、フィン表面からの熱伝達率αも至る所で等しい、半無限長のフィンが、等温の冷媒（流体）に囲まれて、原点Ｙ軸上のベースプレートから、Ｘ軸方向に延びていると仮定する。
（無限長一次元フィン）
理論的解析結果によれば、フィンの基部から先端方向への温度変化は、
パラメータｍ＝sqrt(αＣ／ｋＳ)
ここで、α：熱伝達率（Ｗ／ｍ^2Ｋ）、Ｃ：フィン断面の周長、Ｓ：フィン断面積、ｋ：フィン素材の熱伝導率
として、周囲の流体との温度差をθとすれば
θ＝θ0 exp（−ｍｘ） θ0：基部における周囲の流体との温度差、ｘ：フィンの基部（ベースプレート）からフィン先端方向への距離
となる。
例えば厚み１ｍｍ，幅７ｃｍ、長さ３．５ｃｍのアルミフィンを想定すれば、熱伝達率α＝２５（Ｗ／ｍ^2Ｋ）として、
ｍ＝sqrt(２５ｘ（０．００１ｘ２＋０．０７ｘ２）／（２３６ｘ０．００１ｘ０．０７）)＝sqrt(２１４．９)＝１４．６６
フィンの先端では、ｘ＝０．０３５（ｍ）として
ｅｘｐ（−ｍｘ）＝０．５９８
となり、フィン基部で仮に周囲流体と１０℃の温度差があった場合、３．５ｃｍ先のフィン先端では６度弱の温度上昇になり、４℃程度の温度差がフィン表面にあることになる。
（物理的には、この温度勾配が熱エネルギーをフィン基部から先端方向へ移送する駆動源となっているとも解される）
上記は無限長フィンの場合であったが、有限長フィンの場合は、先端のフィン断面が断熱か、放熱に寄与するかにより先端での温度分布は多少異なるものの、大まかには上記と同様に指数関数的な温度勾配が存在する。
従って、フィンの長さは長ければよいと言うものではなく、
あまり長いフィンは先端のほうのフィン表面温度が周囲の流体と同じになってしまい、放熱に寄与しないため、長さほどには有効に機能しない。（フィン効率が低下する）
また、あまりに細い（板状ならば薄い）フィン（上記パラメータｍが大きい）も、長さの割に根元のほうでフィンの表面温度がすぐに低下してしまい、フィンの長さを有効に生かすことが出来ない。
もちろん、逆にフィンが短すぎても、厚みが厚すぎても伝熱面積を稼げないから、たとえフィン効率が良くても放熱能力は低くなってしまう。
結論として、フィンのアスペクト比Ａ（縦横比、フィンの長さと太さないし厚みの比）には、適切な値の範囲が存在し、
例えば幅に対し厚みｔが充分小さい板状フィンで、θ／θ0＝１／２、すなわちフィンの先端での温度上昇がフィン基部のそれの半分という条件では、
パラメータｍ＝sqrt(αＣ／ｋＳ) は、ｍ＝sqrt(２α／（ｋｔ）)と近似され、
Ａ＝Ｌ／ｔ＝ｌｏｇ２・sqrt（ｋ／（２αｔ））
すなわち、フィンの素材と熱伝達率が与えられたときフィン効率の点で最適な板状フィンのアスペクト比は、一定の値ではなく板の厚みｔの平方根に反比例し、
ｔが小さくなるほど、すなわち薄いほど、厚みｔの平方根に反比例してアスペクト比を大きくする方が、フィン効率を保てるという結論になる。
また、フィンの全長Ｌは厚みｔとアスペクト比Ａの積であるから、結局フィン効率を一定に保つ場合には、フィン長Ｌを厚みｔの平方根に比例して定めればよいことになる。
試しに上記と同じ条件（熱伝導率ｋ＝２３６Ｗ／ｍＫ）、熱伝達率α＝２５（Ｗ／ｍ^2Ｋ））で、いくつかの板状フィン厚みｔに対して上記アスペクト比Ａとフィン長Ｌを計算してみると、
| 厚みｔ(mm) | 0.05 | 0.125 | 0.25 | 0.5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| アスペクト比Ａ | 213.0 | 134.7 | 95.2 | 67.3 | 47.6 | 33.7 | 23.8 | 16.8 |
| フィン長Ｌ(mm) | 10.6 | 16.8 | 23.8 | 33.7 | 47.6 | 67.3 | 95.2 | 134.7 |
次にこのような長さの板状フィンを、複数枚有するヒートシンクの放熱性能を評価する。
ヒートシンクのベースプレートの単位面積あたりの板状フィンの全面積ＳAは、フィンの幅をｗ、フィンの間隔をフィンの厚みｔと同じとすれば、
単位長さあたり１／（２ｔ）枚のフィンがあり、１枚の板状フィンは表裏２面を有するから
ＳA＝２ｘＬｘｗｘ１／（２ｔ）／ｗ ＝ Ｌ／ｔ ＝ Ａ
となり、上記で求めたアスペクト比Ａに等しいことが判る。
フィン基部のフィンが生えていないベースプレート表面からの放熱を無視すれば、このヒートシンクのベースプレート単位面積あたりの放熱量Ｑは、
熱伝達率をα、ベースプレート表面温度（＝フィン基部の温度）と冷媒の温度差をθ0、フィン効率をηとして、
Ｑ＝αＡηθ0
θ／θ0＝１／２としたので、η＝１／２÷ｌｏｇ２＝０．７２１３となり、上記の例えばｔ＝１ｍｍのときＡ＝47.6を代入すれば、α＝２５であるから、
Ｑ＝２５ｘ４７．６ｘ０．７２１３ｘθ0＝８５８θ0
θ0＝１０℃とすれば、Ｑ＝８５８０Ｗ／ｍ^2
ヒートシンクのベースプレートのサイズを７ｃｍｘ７ｃｍとすれば、７ｘ７＝４９ｃｍ^2＝１／２００ｍ^2より、Ｑ＝４２Ｗ
を得る。
（もともとのαの見積もりに、η=1.0としたときのＣＰＵ放熱量を５０Ｗで計算してるので、同様な値が得られるのは当然といえば当然の結果かもしれない）
以上の考察をまとめると、熱伝達率αがフィンのいたるところで等しいとして、強制空冷板状フィンの性能（ベースプレート単位面積あたりの放熱量Ｑ）向上のためには、
アスペクト比の条件に従いながら板状フィンの厚みを薄く、間隔を密にして、フィンの有効伝熱面積（ＳA）を確保すればよいということになる。
同様のことは、ピン型のフィンであっても成り立つはずであり、たとえて言うならば理想の究極のフィン形状とは、
ピンフィンであれば産毛が密集した毛皮のようなものになり、板状フィンであれば辞書の紙ないしアルミ箔のような薄っぺらい板を等間隔に密集配置したものとなる。
（上記の表におけるフィン長Ｌをみれば判るように、このときヒートシンク全体の大きさは小さく出来るはずである）
もちろんこの結論は、熱伝達率αがフィンのいたるところで等しく、かつフィンを細密化しても一定に保てるという前提における理想的なものであり、現実にはこれは困難である。
すなわち熱伝達率αを維持するにはそこに充分な空気流量を確保する必要があるが、密集したフィンの間隙は大きな空気抵抗を持つため、ファンに要求される性能（駆動圧）は非常に大きくなる。
また製造上（細密フィンの製造、固定をどうするか）あるいは運用上（おそらく埃が詰まる）の問題もでてくると想像される。
しかしながら、これらの問題がクリアされるならば、フィン構造の微細化によるヒートシンクの放熱性能の向上の余地はいまだ残されているとも言える。
比熱（定圧モル熱容量、Ｃpm／Ｊ・Ｋ^-1・ｍｏｌ^-1）は、固体金属の場合、単位モルあたりではほぼ同程度の値（２４〜２６）をとるので、単位質量あたり、単位体積あたりの熱容量は、質量数、密度に応じ決まる
ヒートシンク素材の比熱は、温度分布が時間的に変化する場合は意味をもつが、定常的な温度分布の場合は無関係と考えられる
（Ｓｕｐｅｒπ１００万桁のような、瞬間芸（１〜２分）程度の場合に、銅製ピラミッドバッファが意味を持つ理由は多分これ）
例えば、１００ｇの銅製ヒートバッファが５０ＷのＣＰＵの発熱を１分間受け止めたとして、他に熱の移動がなければ、
５０ｘ６０／（２５・（１００／６３．５））＝７６．２℃
同じ重さのアルミ製ヒートバッファであれば、
５０ｘ６０／（２５・（１００／２７））＝３２．４℃
アルミニウムの方が原子量が小さい分、質量あたりの熱容量が大きく（２倍以上）、温度上昇は少ないことがわかる。
（但し、アルミニウムの密度（２．７）は銅（８．９）の１／３以下であるから、同じ重さのヒートバッファであれば、アルミ製のヒートバッファは銅製のそれの３倍以上の体積となる）
・主な物質の熱伝導率
（単位：Ｗ／ｍ／Ｋ、グリス類の出典は「四万十川五十歩百歩」氏のホームページ）
アルミニウム ２３６
銅 ４０３
銀 ４２８
鉄 ８３．５
空気 ０．０２４１
珪素（シリコン）
１６８
石英ガラス（ＳｉＯ2）
１．４
アルミナ（Ａｌ2Ｏ3） ２１
アクリル ０．１７−０．２５
ゴム ０．１−０．２
ポリエチレン ０．２−０．３
水 ０．６
油 ０．１３
エチルアルコール ０．１９−０．１５
シリコングリス（信越 化学 G765）
２．９
シリコングリス（たかちん印サーマルコンパウンド
TSC-1) ２．６
シリコングリス（HotStuff SSグリス）
１．０５
シリコングリス（サンハヤト SCH-30） ０．８４
およそ、アルミの熱伝導率は銅の約６割、
シリコングリスの熱伝導率は（性能の良い物でも）アルミの１／１００、
空気の熱伝導率はグリスの１／１００（アルミの１万分の１）
粘性係数μの定義は、流体の駆動圧をＰ、速度勾配を∂Ｖ／∂ｚとして、
∂Ｖ
Ｐ ＝ μ−−
∂ｚ
空気の粘性係数は μ＝１．８３ｘ１０^-5 Pascal・秒（於気温：25℃、大気圧：762mmHg）
例えば駆動圧 Ｐ＝１ｍｍＡｑ＝０．１ｇ／ｃｍ^2＝９．８Ｎ／ｍ^2（Pascal）とすれば、
境界面の速度勾配 ∂Ｖ／∂ｚ＝Ｐ／μ＝５．３５ｘ１０^5 ｍ／秒／ｍ
風速を上記１．３３ｍ／秒として、
∂ｚ＝１．３３÷（５．３５ｘ１０^5）＝２．４８ｘ１０^-6 ｍ ＝ ２．５μ
この値は、おそらく境界層先端の厚みの見積りになる。
常温常圧におけるいくつかの流体の粘性係数を cP という単位で表すと、
水：1.0、濃硫酸：27、グリセリン：1500、空気：0.018 。
粘性係数の単位は、 g/cm.s （ｃｇｓ単位系）で、poise
（ポアズ）という。
poise は単に P と書かれることもあり、cP
とは centi-poise = 1/100 poise
また、ｆの単位が応力（圧力）であることから、ＳＩ単位系では、Pa.s
（パスカル・秒)。1 poise = 0.1 Pa.s
粘性のある流体の流れを議論するときには、上記の（静的）粘性係数μよりも、μを流体の密度ρで割った、
動粘性係数 ν＝μ／ρ （単位：ｍ^2／秒）が重要である。
身近な流体である、空気と水の場合、静粘性係数μは上記のように水の方が大きい（０．０１８：１、約５０倍）が、
水の密度が空気の９００倍近くあるため、動粘性係数は、空気の方が大きくなる。（常温で約１５倍）
空気の密度：ρ=1.185×10＾-3[g/cm^3]（気温：25℃）
レイノルズ数Ｒｅは、 Ｒｅ＝ＶＬ／ν であるから、同じ速度と長さのスケールであれば、空気の流れの方が低レイノルズ数になる。
あるいは、水の流れで空気と同じレイノルズ数の流れを実現するには、水流の速度（流速）または長さスケールの一方またはその積を空気の場合の１５分の１程度にすれば、シミュレートできることになる。
ＣＰＵクーラをファン毎水槽に浸け、ファンを１５分の１位の回転数（３０００回転／分のファンなら、２００回転／分＝３回転／秒）で回せば、ヒートシンクのフィン近傍における気流のパターンを再現できるかもしれない。