ニュートンの運動方程式より、万有引力定数Ｇ、質量Ｍ、長さＬに対して
ＧＭＴ2／Ｌ3 ＝ ４π2
が成り立つので、現実のＧの値
Ｇ＝６．６７２ｘ１０-20 ｋｍ3
ｋｇ-1 sec-2
を代入すれば、以下のような質量、長さの単位の場合を想定すると、対応する時間単位が定まる。
（出典「パソコンで見る天体の動き」長沢工・檜山澄子著、地人書館１９９２ ｐ１８４）
|
|
|
|
|
| 人間的スケール：屋内（human:indoor） | ｍ＝１０-3 ｋｍ | ｋｇ | １．２２４２ｘ１０5 sec＝１．４１７日 |
| 人間的スケール：屋外（human:outdoor） | ｋｍ | トン＝１０3 ｋｇ | １．２２４２ｘ１０8 sec＝３．８７９年 |
| 惑星間スケール（inter planetary） | 天文単位＝１．４９６ｘ１０8 ｋｍ | 地球質量＝５．９７４ｘ１０24 ｋｇ | ２．８９８ｘ１０9 sec＝９１．８年 |
| 恒星間スケール（inter stellar） | 光年＝９．４６１ｘ１０12 ｋｍ | 太陽質量＝１．９８９ｘ１０30 ｋｇ | ７．９８８ｘ１０13 sec＝２．５３ｘ１０6年
＝２５３万年 |
| 銀河系間スケール（inter galactic) | メガパーセク＝３．２６２ｘ１０6 光年
＝３．０８６ｘ１０19 ｋｍ |
銀河質量＝３０００億太陽質量
＝５．９６７ｘ１０41 ｋｇ |
８．５９１８ｘ１０17 sec＝２．７２２６ｘ１０10 年
＝２７２億年 |
更に簡略化すると
|
|
|
|
|
| 屋内（human:indoor） | ｍ | ｋｇ | 日 |
| 屋外（human:outdoor） | ｋｍ | トン | 年 |
| 惑星間（inter planetary） | 天文単位 | 地球質量 | １００年 |
| 恒星間（inter stellar） | 光年 | 太陽質量 | １００万年 |
| 銀河間（intergalactic) | メガパーセク | 銀河質量 | １００億年 |
ちなみに正規化された単位で表現して、
・相互に２単位距離離れた、質量１の２物体が、半径１の円運動を行う場合、 周期 ４π（１２．５６）、 円周速度 ０．５
・相互に１単位距離離れた、質量１の２物体が、半径０．５の円運動を行う場合、 周期 √２π（４．３９）、 円周速度 １／√２（０．７０７）
・質量１の物体の周りを、質量が無視できる質点が、半径１の円運動する場合、 周期
２π（６．２８）、 円周速度 １
更に、上記単位間の関係式は、
Ｔ ＝ √(Ｌ3／ＧＭ）
と変形でき、中心質量Ｍの物理的大きさをＬのオーダとすれば、中心質量を構成する物質密度ρがＭによらず一定であると仮定して、
Ｍ ＝ ρ（４／３）πＬ3 ∝ ρＬ3
であるから、質量Ｍによらず時間Ｔの尺度は一定となる。
換言すれば、平均密度が同じ任意の中心質量Ｍの表面を周回する軌道の周期は、一定である。
（正確には、密度ρの平方根に反比例する）
Ｔ ＝ √(３／（４πρＧ））
地球の低軌道衛星の周期は約１時間半であるが、地球の平均密度は約5.5g/cm3 と太陽系天体の平均より高めであるので、
２〜３時間程度が典型的な惑星等の周回軌道の最小周期である。
ちなみに、ρ＝１０００ｋｇ／ｍ3の水でできた惑星の、表面周回軌道の周期は、
Ｔ ＝ √（３／４π1000Ｇ）＝1891.6秒 を ２π倍して、 Ｔ0 ＝ ３．３時間
第１宇宙速度と第２宇宙速度の関係
天体の周回軌道速度である第１宇宙速度Ｖ１と、天体からの脱出速度である第２宇宙速度Ｖ２の間には、Ｖ２＝√２ Ｖ１ という簡単な関係がある。
今、質量Ｍの天体の周りを半径ｒの円軌道で、質量ｍ(<<Ｍ）の物体が周回しているとすると、遠心力と重力の釣り合いの関係から、万有引力定数をＧとして、
ｖ2 ＧＭｍ
ｍ−−− ＝ −−−
ｒ ｒ2
両辺のｒを払えば、左辺が運動エネルギーＫ（ｖ）＝１／２ｍｖ2の２倍で、右辺が重力ポテンシャルエネルギーＰ（ｒ）そのものであるから、
ＧＭｍ
ｍｖ2 ＝ −−− −＞ Ｋ（ｖ） ＝ １／２Ｐ（ｒ）
ｒ
結局、円軌道においては半径ｒに関わりなく、運動エネルギーは重力ポテンシャルエネルギーの半分ということになり、運動エネルギーが２倍（すなわち速度が√２倍）となれば、重力ポテンシャルをキャンセルして、全エネルギーが０となる（すなわち、脱出速度）ことになる。
仮に円軌道上をＶ１で周回する衛星が、瞬間的に加速してＶ２となったとすれば、衛星は円軌道のその地点を底とする放物線を描いて天体を脱出することになる。
以上の関係を太陽や地球、月、木星、土星などの実際の天体の質量と距離に関して計算するシートを作成してみたので、確かめてみられたい。（ホーマン遷移）