ＬＥＯデブリの衝突確率（未定稿）
2007/2/12
中国のASAT実験に触発（？）されて、地球低軌道（ＬＥＯ）デブリの衝突確率を概算してみた。
（計算間違いがあれば、ご容赦を）
１．素朴な見積もり
（デブリフラックスの面積率速度）
例えば進行方向断面積が１ｍ^2のデブリが、周期１．５時間の略円軌道に１００ｋｍ四方にわたり１０００個あるとして、その時間あたりフラックス（掃く面積）は、重複を無視できる低フラックスの範囲で、
１ｍ^2ｘ１０００／１．５時間＝６６６．７ｍ^2／時間（おお、悪魔の数字じゃ！）
1年にすれば上記の約、２４ｘ３６５．２５倍で、
６６６．７ｘ２４ｘ３６５．２５＝５８４４２９２．２ｍ^2／年≒５．８ｋｍ^2／年
これが１００ｋｍ四方に占める割合は、
５．８／１００^2＝０．０００５８ ・・・（１）
（軌道交差確率？）
ターゲットはデブリの散らばる１００ｋｍ四方に常に存在するわけではないので、
例えばデブリの軌道が極軌道で、ターゲットの軌道が傾斜角０°でこれも円軌道とすれば、
ターゲットがそこにいる確率は、周期１．５時間＝９０分の軌道半径が約６７００ｋｍであることより、
１００／（２ｘ３．１４ｘ６７００）＝０．００２３７７ ・・・（２）
ただしこれは、ターゲットの軌道が必ずデブリの存在範囲を横切るとした場合の最大値で、
更に完全に軌道半径が一致するなら、両者の軌道は２点で交差するはずだから、この２倍となる。
（１）と（２）を掛け合わせれば、上記ターゲットが１年間に１０００個のデブリのどれかと衝突する確率は、およそ
０．０００５８ｘ０．００２３７７＝１．３７８ｘ１０^-6
ざっと１００万分の１、宝くじの１等より低いに違いない。
とりあえずは一安心だが、上記のロジックはまだ穴がある。
２．見積もりの改良
一つ目の大穴は、（１）の導出で単純にデブリの掃く面積を衝突確率の基礎とした点で、これはターゲットの軌道横方向断面積がゼロの場合に相当する。
例えばＩＳＳ（国際宇宙ステーション）のように大きなターゲットであれば、その大きさに応じて衝突確率は増すはずで、
およそデブリの有効面積に相当する半径に、ターゲットのそれを足したものが、全体としての衝突断面積の半径に相当すると考えられる。
ターゲットの有効面積を例えば、およそ４００ｍ^2程度と見積もれば、円周率を無視して有効半径は約２０ｍ、
デブリのそれが同様に０．５ｍ程度だから、２０．５^2＝４２０．２５ｍ^2
これを（１）にかけると、
０．０００５８ｘ４２０．２５＝０．２４３７４５ ・・・（１ａ）
かなり大きな値になり心配になるが、さらに追い討ちをかければ、
二つ目の穴は、（２）の導出でターゲットとデブリの軌道が直交することを仮定した点で、
これは交差確率（？）最小の場合のはずである。
今回のＡＳＡＴ実験で中国が狙った衛星は、この点を配慮（？）したのかもしれない。
いずれにせよターゲットとデブリの軌道交差角が０に近づくほど、（２）の確率は増大するはずで、
最悪軌道が完全に一致して周回方向が反対ならば、１周毎に２回、衝突の危険があることになる。
軌道交差角をθとすれば、デブリの存在範囲を横切るターゲットの軌道部分の長さは、
θが９０°に近ければ、１／ｓｉｎθ＝ｃｏｓｅｃθに比例し、（２）の値も同様のはずである。
θ＝０の場合は、デブリ、ターゲット共に同じ半径の円軌道なら、常にターゲットはデブリの存在範囲にいることになり、（２）の値は１となる（！）
逆に安全サイドに働く三つ目の穴は、軌道の形状因子（いわゆるケプラー要素の、軌道長半径ａ、離芯率ｅ）などで、いままでの考察ではこれらをａは等しく、ｅ＝０としていたが、現実にはこれらは大きく相違、あるいはｅは非ゼロのはずで、これは（２）の値を大きく下げるはずである。
軌道傾斜角以外の軌道面要素（昇降点赤経）、方向因子（近地点引数）なども当然影響するはずであるが、詳細はより深い考察が必要なようで残念ながら自分の範囲を超える。
３．一般化
不充分ながら、上記１．２．で行った、デブリフラックスの面積率速度に軌道交差確率を掛ける方針で、上限としての衝突確率の見積もりの一般化を試みる。
（前提）
衝突断面積の有効半径がＲd（ｍ）のデブリがＮ個，軌道周期Ｔ（時間）の円軌道上で、有効直径Ｄ（ｋｍ）の軌道断面積に渡って一様に分散して存在すると仮定する。
同様にターゲットの衝突断面積の有効半径をＲt（ｍ）として、デブリと同じ軌道周期Ｔ（時間）の円軌道で、軌道傾斜角のみが異なる軌道にあるとして、その交差角をθとおく。
（なお、ターゲットの衝突断面積は、デブリとの軌道交差角θの方向から見たものであることに注意）
（デブリフラックスの面積率速度）
ターゲットの衝突断面積も考慮したデブリフラックスの面積率速度ｓ’は、（１）〜（１ａ）の計算を一般化して、
ｓ’＝Ｎπ（Ｒd＋Ｒt）^2／（ＴＤ^2）ｘ１０^-6
年あたりの面積率速度Ｓ' に換算すれば、２４ｘ３６５．２５＝８７６６倍して、
Ｓ' ＝Ｎπ（Ｒd＋Ｒt）^2／（ＴＤ^2）ｘ8.766ｘ１０^-3 ・・・（１ｂ）
（軌道交差確率）
周期Ｔ（時間）の地球周回円軌道の軌道半径Ｌは、Ｌ＝3√（ＧＭＴ^2／（４π^2））
Ｔの単位が時間、Ｌがｋｍだから、
地心重力定数ＧＭ＝３．９８６ｘ１０^14ｘ３６００^2ｘ１０^-9／（４π^2）
＝5.166ｘ10^12／39.478＝１．３０８ｘ１０^11
より、
Ｌ＝3√（１．３０８ｘ１０^11ｘＴ^2）＝５．０７６ｘ１０^3ｘＴ^(2/3） （２ａ）
軌道交差確率σは、ターゲットの円軌道を前提とすれば、その軌道全長に占める交差部分の長さの割合として、
軌道の２箇所で交差することも考慮すれば、
σ＝２Ｄ cosecθ／（２πＬ）＝Ｄcosecθ／（πＬ）
Ｌに式（２ａ）を代入して、
σ＝６．２７ｘ１０^-5ｘＤcosecθＴ^(-2/3） 但し、θ≧arcsin（Ｄ／(πＬ)）の時
＝１ 但し、θ＜arcsin（Ｄ／(πＬ)）の時 （２ａ）
式（１ｂ）、（２ａ）より、年あたりの衝突確率Ｐは、
Ｐ＝Ｓ'σ＝5.497ｘ１０^-7ｘＮπ（Ｒd＋Ｒt）^2／（ＴＤ^2）ｘ ＤcosecθＴ^(-2/3）
＝5.497ｘ１０^-7ｘ cosecθｘＮπ（Ｒd＋Ｒt）^2／（ＤＴ^(5/3））
但し、θ≧arcsin（Ｄ／(πＬ)） （３-1）
＝8.766ｘ１０^-3ｘＮπ（Ｒd＋Ｒt）^2／（Ｄ^2Ｔ） 但し、θ＜arcsin（Ｄ／(πＬ)） （３-2）
４．考察
まず上記の計算は、前提として単純化のため円軌道を仮定し、デブリの軌道とターゲットの軌道が必ず交差する場合（両者の軌道半径が等しい）に限った特殊なワーストケースの議論である事に留意すべきである。
（デブリの存在範囲を限定して考える前提であるから、交差しなければ衝突確率は厳密に０になってしまい、議論の意味が無い）
地球近傍の低軌道（ＬＥＯ）に限ったとしても、宇宙空間のこっち側よりは向こう側のほうがはるかに広いのは自明であるから、通常は軌道が交差する確率は低く、交差しない限り衝突確率はゼロのはずである。
ただ、デブリの存在範囲は軌道断面積Ｄｋｍ平方などと限定できるのは特殊な理想的な場合（例えばデブリ発生直後のような）のみであって、時間と共にその分布範囲は広がるものであって、そもそも小さなデブリも入れれば、どこら辺にあるのかも定かではないところに、問題の本質はあると思われる。
このように議論のために理想化された特殊な場合の、ワーストケースとしての計算ではあるが、上記式（３-1）、（３-2）から読み取れることを考えてみる。
式（３-1）、（３-2）はそれぞれ、デブリの軌道とターゲットの軌道が部分的に交差する場合（３-1）と、ターゲットの軌道がデブリの存在範囲に完全に含まれる場合（３-2）にあたるものと、解釈される。
もちろん後者の、
ターゲットの軌道がデブリの存在範囲に完全に含まれる場合（３-2）の方が圧倒的に衝突確率は高く、その係数だけを見ても最大１万倍近く危険ということになる。
つまり、軌道交差角θの影響が大きい（θが小さいときが危険）、というのが一点、
次にどちらの場合にも共通するのは、衝突確率が、
(1)デブリの数Ｎ、ターゲットとデブリの衝突断面積の和（Ｒd＋Ｒt）^2（正確な言い方ではないが）に比例し、
(2)デブリの存在半径Ｄと軌道周期Ｔの冪に反比例する、
ということである。
月並みだが、ターゲット、デブリが大きいほど衝突確率は高く、デブリの密度（Ｎ／Ｄ^2）が低く、高軌道ほど衝突確率は低くなる、ということ。
ＤとＴの冪の指数は両者で異なるが、軌道交差角θの関数cosecθが両者の境界でその違いをキャンセルする値となっているはずである。
Ｐ．Ｓ．
上記のように、余りはっきりした結論ではなかったのでお蔵入りしてたが、某掲示板での書き込みに触発されて、とりあえずアップしてみた(2007/12)
はやぶさのような探査機だと人工惑星ということになるので地球公転軌道近傍として、軌道周期Ｔが「時間」のオーダの地球周回の人工衛星よりもおよそ1万倍、デブリの分布範囲を例えば目の子で１００万ｋｍ四方（１０^12ｋｍ^2）、デブリの個数をこれも適当に１００万個、
デブリの大きさははやぶさに比べて無視できる大きさとして、はやぶさの衝突断面積を大きめに見積もって１００ｍ^2として、
上の式（３-2）に代入すると、Ｐは１／１００億くらいかな？