ラグランジュ点の計算
５つあるラグランジュ点のうちの、直線解Ｌ1、Ｌ2、Ｌ3のおよその位置を求めてみる。
Ｌ1
大質量Ｍ1の周りを半径Ｒで円軌道運動する小質量Ｍ1を考えた場合、そのＬ1にある質点の質量をｍとおき、
ｍ＜＜Ｍ2＜＜Ｍ1 として、
Ｍ2の軌道中心はＭ1にあると仮定して、
各質点の位置、距離、速度を下図のようにおく。
↑ ＶＭ2
↑ Ｖm |
｜ |
●--------------------------・---------○
Ｍ1 ｍ Ｍ2
: :<-- ｘ --->:
: :
:<--------------- Ｒ --------------->:
Ｌ1にある質量ｍに働くＭ1、Ｍ2からの引力は、
ＦＭ1＝ＧＭ1ｍ／（Ｒ−ｘ）2
ＦＭ2＝ＧＭ2ｍ／ｘ2
質点Ｍ2、ｍの速度は、
ＶＭ2＝√（ＧＭ1／Ｒ）
Ｖm＝（Ｒ−ｘ）／Ｒ・ＶＭ2
Ｌ1では、ケプラー軌道速度の不足分をＭ2からの引力が補っていると見ることもできる。
質点ｍに働く引力と上記速度による遠心力の力の釣り合いの方程式は、
ＦＭ1 − FＭ2 ＝ ｍ・Ｖm2／（Ｒ−ｘ） ・・・（１）
各値を代入して整理すれば、
Ｍ1ｘ2 − Ｍ2（１−ｘ）2
＝ Ｍ1（１−ｘ）3・ｘ2
但し、ｘ／Ｒをｘと置き換えてある。（Ｒ＝１に正規化）
更に、Ｍ2/Ｍ1＝μとおいて、
ｘ2 − μ（１−ｘ）2
＝ （１−ｘ）3・ｘ2
５次方程式であるので代数的解は望み薄であるが、μ≒０の近傍に於ける近似解を考えてみる。
上記方程式をμについて解けば、
μ＝ｘ2｛１−（１−ｘ）3｝／（１−ｘ）2
＝ｘ3｛ｘ2−３ｘ＋３｝／（１−ｘ）2
ｘ → ＋０の近傍では、μ → ３ｘ3 であるから、
ｘ≒3√（μ／３） ・・・（２）
例えば太陽−地球系のμ≒１／３３万であるから、
3√（μ／３）≒１／１００で、１／１００ＡＵ≒１５０万ｋｍ となり、現実のＬ1の位置にほぼ相当している。
同様に太陽−木星系（μ≒１／１０００）では、3√（μ／３）≒0.069で、５０００万ｋｍ強の所になる。
Ｌ2
Ｍ2の外側のＬ2にある質点ｍの力の釣り合いの方程式は、ｘを負の値として考えれば各成分の大きさは（数式上）Ｌ1と変わらず、Ｍ2の引力の方向が反対になるから、
ＦＭ1 ＋ ＦＭ2 ＝ ｍ・Ｖm2／（Ｒ−ｘ） ・・・（１）’
Ｌ1の場合と同様に、μ≒０の近傍に於ける近似解を考えて上記方程式をμについて解けば、
μ＝−ｘ2｛１−（１−ｘ）3｝／（１−ｘ）2
＝−ｘ3｛ｘ2−３ｘ＋３｝／（１−ｘ）2
ｘ → ＋０の近傍では、μ → −３ｘ3 であるから、
ｘ≒−3√（μ／３） ・・・（２）
ｘはＬ1の方向を正にとったので、Ｌ2はＭ2を中心にしてＬ1の反対側（軌道の外側）に同じ距離だけ離れた所にあることになる。
Ｌ3
Ｌ3は、Ｍ1を中心としてＭ2のちょうど反対側の点（対蹠点）の少し外側にあり、およそ２Ｒ離れたＭ2からの引力が、超過の軌道速度による遠心力と概略バランスしている点である。
（従って、そのずれの量ｘはＬ1やＬ2における値より、小さいはずである。）
Ｍ2の対蹠点からのずれをｘとして、Ｌ2のときと同様に考えると、
Ｌ1にある質量ｍに働くＭ1、Ｍ2からの引力は、
ＦＭ1＝ＧＭ1ｍ／（Ｒ＋ｘ）2
ＦＭ2＝ＧＭ2ｍ／（２Ｒ＋ｘ）2
質点Ｍ2の対蹠点、およびｍの速度は、
ＶＭ2＝√（ＧＭ1／Ｒ）
Ｖm＝（Ｒ＋ｘ）／Ｒ・ＶＭ2
質点ｍの力の釣り合いの方程式は、
ＦＭ1 ＋ ＦＭ2 ＝ ｍ・Ｖm2／（Ｒ＋ｘ） ・・・（１）’’
Ｌ1のときと同様に、各値を代入して整理すれば、
Ｍ1（２＋ｘ）2 ＋ Ｍ2（１＋ｘ）2
＝ Ｍ1（１＋ｘ）3・（２＋ｘ）2
但し、ｘ／Ｒをｘと置き換えてある。
更に、Ｍ2/Ｍ1＝μとおいて、
（２＋ｘ）2 ＋ μ（１＋ｘ）2
＝ （１＋ｘ）3・（２＋ｘ）2
μについて解けば、
μ＝｛（１＋ｘ）3−１｝・（２＋ｘ）2／（１＋ｘ）2
＝ｘ・（ｘ2＋３ｘ＋３）（２＋ｘ）2／（１＋ｘ）2
ｘ → ＋０の近傍では、μ →１２ｘ であるから、
ｘ≒μ／１２ ・・・（２）’’
μ＝０の近傍では、μ自身はμの三乗根に比べてはるかに小さいので
（例えばμ＝０．００１（１／１０００）のとき、3√μ＝０．１（１／１０））、
Ｌ1やＬ2と対比した場合、Ｌ3は、ほとんどＭ2の対蹠点にあると言って良いと考えられる。
（但し、ｘが質量比μと同じオーダで小さいので、Ｌ1やＬ2の時は結果的に無視できた、Ｍ1と軌道中心（重心）のずれが効いてくるため、上記の結果は定数倍の誤差を含むようである。）
参考
http://pathfind.motion.ne.jp/laglange.htm
http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikigaku/Lagrange/Lagrange.pdf
http://www.ki.rim.or.jp/~kuro/Lagrangian/