目的

　重力場中を自由落下した物体が、床などに衝突したときに受ける、衝撃力を、適当な仮定の下に見積もってみる。
 

事例１（非弾性衝突）

重力場（重力加速度 g）中を、高さhの場所から、t 秒間自由落下して床に到達した物体が、
自身ないし床の変形で長さ x だけへこんで、衝突後 s 秒間で静止したとして、
（減速加速度 a はこの間一定とする）

落下距離 h、減速（変形）距離 x と時間 t, s、加速度g, aに関して、

  1/2 gt² = h
  1/2 as² = x
より
  (g/a)(t/s)² = h/x              ...(1)

一方、t秒かけて到達した床到達時の速度が、s秒で０になるから、
  gt=as
  t/s=a/g                          ...(2)

(2)を(1)に代入すれば、

   a/g=h/x

結局、
衝突物体に働く加速度と重力加速度の比（a/g)は、h/xに等しい、
つまり、衝撃力を重力加速度の単位Ｇで表したものは、落下距離と、衝突後の変形距離の比に等しい
ことが判る。

例えば、１ｍの高さから落ちた物体が、床ないし自分自身の変形で１ｍｍへこんで止まったとしても、
　１ｍ／１ｍｍ＝１０００Ｇ
という、自分自身の重さの１０００倍もの衝撃力が瞬間的にではあるが働くことになる。
（このときの落下時間は、０．５秒弱、衝撃力の働く時間はその１／１０００の０．５ミリ秒弱）

静止までの変形距離 ｘ が１ｃｍあったとしても（１ｃｍもへこむ床というのは相当柔らかい気がするが）、それでも１００Ｇかかることになる。
（もちろん床だけでなく、落下する物体自身も変形するので、厳密にはそれらの和が x となる。
　瞬間的であまり気付かないものの、衝突の瞬間には、物体や床は堅いようでも案外変形しているということであろう。
　（野球のバットがボールを捉えた瞬間の高速度写真を見たことがある方は、御納得頂けると思う。）
　更に、落下物体の大きさを考慮すれば、床と物体の最初の接触地点は、物体の重心から落下速度方向に延ばした直線上にはないことがほとんどであるから、
床と物体の接触後、物体には回転モーメントが作用して物体はころがるので、衝撃力（減加速度　ａ）は上記の例よりも緩和されることが期待される。）
 

事例２（床の弾性を考慮）

重力場中を高さｈから自由落下してきた質量ｍの物体が、バネ定数ｋの床に衝突したときの変位ｘと減加速度ａを求める。
（但し、衝突後は重力加速度ｇは無視できると仮定し、バネ定数ｋも不変とする）

回答

床に衝突直前の物体の落下速度ｖは
  ｍｇｈ＝１／２ｍｖ²
より
  ｖ＝sqrt(２ｇｈ)                      ....(3)

衝突後の物体の運動方程式は
          　  　ｄ²ｘ
  ｍａ ＝ ｍ----  ＝  - ｋｘ
          　  　ｄｔ²

一般解は、
  ｘ（ｔ）＝Ｃ1exp(ｊsqrt(ｋ／ｍ)ｔ)＋Ｃ2exp(-ｊsqrt(ｋ／ｍ)ｔ)

衝突の瞬間をｔ＝０として、変位ｘを床の静止面を原点に下方に正ととれば、
条件 x|_t=0 = 0
を満たす変位ｘの特殊解は、Ａを最大変位量として、

  ｘ（ｔ）＝Ａsin(sqrt(ｋ／ｍ)ｔ)                   ....(4)

速度ｖは、

  ｖ（ｔ）＝ｘ '（ｔ）＝Ａsqrt(ｋ／ｍ)cos(sqrt(ｋ／ｍ)ｔ)

最大変位量Ａは、衝突の瞬間(ｔ＝０)における速度の初期条件
  ｖ|_t=0＝sqrt(２ｇｈ)
より、
  Ａsqrt(ｋ／ｍ)＝sqrt(２ｇｈ)
従って、
  Ａ＝sqrt(２ｍｇｈ／ｋ)                      ....(5)
 

減加速度ａは、ａ＝- （ｋ／ｍ）ｘ（ｔ）より、

  ａ（ｔ）＝ - （ｋ／ｍ）Ａsin(sqrt(ｋ／ｍ)ｔ)
         ＝ - （ｋ／ｍ）sqrt(２ｍｇｈ／ｋ)sin(sqrt(ｋ／ｍ)ｔ)
         ＝ - sqrt(２ｇｋｈ／ｍ)sin(sqrt(ｋ／ｍ)ｔ)                         ....(6)

減加速度ａが最大となるのは、
sin(sqrt(ｋ／ｍ)ｔ)＝１となるとき、
即ちsqrt(ｋ／ｍ)ｔ＝π／２のときで、
ｔ|amax＝π／｛２sqrt(ｋ／ｍ)｝

このとき最大減加速度は

  ａmax＝ - sqrt(２ｇｋｈ／ｍ)
 
 

最大減加速度ａmaxと重力加速度ｇの比を、落下距離ｈと最大変位Ａの比と比較してみる。

  ａmax／ｇ＝sqrt(２ｋｈ／ｍｇ)

  ｈ／Ａ＝ｈ／sqrt(２ｍｇｈ／ｋ)＝sqrt(ｋｈ／２ｍｇ)

従って、ａmax／ｇ＝２ｈ／Ａ

問題１の減加速度一定の近似のときと比較すると、係数２が掛かっているが
加速度の比が、落下距離ｈと最大変位Ａの比に比例することは同じであることがわかる
 
 
 

適当な仮定を置いて議論を精密化してみると、

一般に物体の質量ｍは物体の大きさ（球なら半径Ｒ）の３乗と密度ρに比例し

　ｍ＝（４／３）πρＲ^3

一方床のバネ定数ｋは、およそ物体と床の接触面積Ｓに比例すると考えられるから、
接触面積Ｓが物体の断面積の程度であるとして、
　ｋ∝Ｓ∝Ｒ^2

ゆえにバネ定数ｋと質量ｍの比ｋ／ｍは

　ｋ／ｍ ∝ １／（ρＲ）

従って、
  ｈ／Ａ＝sqrt(ｋｈ／２ｍｇ) ∝ sqrt(ｈ／（２ｇρＲ））